Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA面ABCD，且AB＝2，AD＝4，

AP＝4，F是線段BC的中點.

⑴ 求證：面PAF面PDF；

⑵ 若E是線段AB的中點，在線段AP上是否存在一點G，使得EG面PDF？若存在，求出線段AG的長度；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）PA面ABCD， 面ABCD， PADF ，在矩形內根據F是線段BC的中點和長度，根據勾股定理求得AFDF，即得證 (2)解法一：延長AB交DF延長線于點M，連結PM.這樣將面PDF延伸，當EGPM時存在一點G，使得EG面PDF 解法二：構造平行四邊形，取DF中點I，連結EI，過點G作AD的平行線交PD于點H，連結GH、HI.證得四邊形GEIH是平行四邊形，根據線面平行判定定理即可證得。

解析：⑴ PA面ABCD， 面ABCD， PADF，

又在底面ABCD中， ， ，

， AFDF，

， DF面PAF，

面PDF，面PAF面PDF.

解⑵：法一、假設在線段AP上存在點G，使得EG面PDF.連結AB并延長交DF延長線于點M，連結PM.

F是線段BC的中點，底面ABCD是矩形，

，

EG面PDM， 面PAM，面PAM 面PDM=PM，

EGPM，

， ，

故在線段AP上存在點G，使得EG面PDF，此時.

法二、假設在線段AP上存在點G，使得EG面PDF.取DF中點I，連結EI，過點G作AD的平行線交PD于點H，連結GH、HI.

E是線段AB的中點， 是梯形ABFD的中位線，

，EIGH，

EG面PDF， 面GEIH，面GEIH 面PDM=IH，

EGIH，

四邊形GEIH是平行四邊形，

，

， ，

故在線段AP上存在點G，使得EG面PDF，此時.