Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB=AC，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD上異于端點的點．
（1）在平面ABC內，試作出過點P與平面A1BC平行的直線l，并說明理由；
（2）證明：直線l⊥平面ADD1A1 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABC內，過點P作直線l和BC平行．

理由如下：由于直線l不在平面A1BC內，l∥BC，BC平面A1BC，

故直線l與平面A1BC平行

（2）證明：在△ABC中，∵AB=AC，D是線段AC的中點，

∴AD⊥BC，又l∥BC，∴l⊥AD．

又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l．

而AA1∩AD=A，

∴直線l⊥平面ADD1A1

【解析】（1）在平面ABC內，過點P作直線l和BC平行．利用線面平行的判定定理即可證明．（2）在△ABC中，由AB=AC，D是線段AC的中點，可得AD⊥BC，l⊥AD．又AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．即可證明．
【考點精析】掌握棱柱的結構特征和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．