Question

已知定義在（0，+∞）上的函數f（x），對于定義域內任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），且當f（x），x＞1時f（x）＜0恒成立．
（1）求f（1）；
（2）證明：函數f（x），f（x）在（0，+∞）是減函數；
（3）若x∈[1，+∞）時，不等式f（

x2+2x+a

x

）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根據函數f（x）（x∈R，且x＞0），對于定義域內任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構造關于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）．
（2）任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，當x＞1時，f（x）＜0恒成立，故f（

x2

x1

）＜0，由此能證明f（x）在（0，+∞）是減函數．
（3）由（2）知函數f（x）在其定義域內是減函數，故當x∈[1，+∞）時，

x2+2x+a

x

＞1恒成立，由此能求出a的范圍．

解答：解：（1）∵定義在（0，+∞）上的函數f（x），
對于定義域內任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
（2）證明：任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵當x＞1時，f（x）＜0恒成立，
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）-f（x₁）-f（

x2

x1

）=-f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是減函數．
（3）由（2）知函數f（x）在其定義域內是減函數，
當x∈[1，+∞）時，不等式f（

x2+2x+a

x

）＜f（1）恒成立，
即

x2+2x+a

x

＞1恒成立，
∵x≥1時，-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤-2，
∴a＞-2．
故a的范圍是（-2，+∞）．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的性質，其中（1）的關鍵是“湊配”思想的應用，（2）的關鍵是定義法的應用，（3）的關鍵是等價轉化思想的應用．