Question

已知定義在（0，+∞）上的函數f(x)=

(4k-1)ln 1 x ，x∈(0 ， e] kx2-kx，x∈(e ， +∞)

是增函數
（1）求常數k的取值范圍
（2）過點（1，0）的直線與f（x）（x∈（e，+∞））的圖象有交點，求該直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得

1-4k＞0 k＞0 1-4k≤ke2-ke

，由此解得常數k的取值范圍．
（2）設過點（1，0）的直線為y=m（x-1），聯立

y=m(x-1) y=kx2-kx

，解得m=kx，再由x∈（e，+∞）可得m=kx＞ke，即得直線的斜率取值范圍．

解答：解：（1）由題意得

1-4k＞0 k＞0 1-4k≤ke2-ke

，解得 

1

e2-e+4

≤k＜

1

4

，從而k的取值范圍為[

1

e2-e+4

，

1

4

)．
（2）設過點（1，0）的直線為y=m（x-1），聯立

y=m(x-1) y=kx2-kx

，解得m（x-1）=kx²-kx，
由于x＞e，所以m=kx，m=kx＞ke，即直線的斜率取值范圍為（ke，+∞）．

點評：本題主要考查對數函數的單調性的判斷和應用，直線的斜率，屬于基礎題．