Question

已知定義在（0，+∞）上的函數f（x），對一切x、y＞0，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（2）f(2)=-

1

2

時，解不等式f（ax+4）＞-1．

Answer 1

分析：（1）任取兩個變量且界定大小，由主條件將f（x₂）-f（x₁）變形為f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）再利用x＞0時，f（x）＜0得證．
（2）將原不等式轉化為f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）由（1）知f（x）在（0，+∞）上為減函數，得到0＜ax+4＜4，再按照一元一次不等式求解．

解答：解：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，則x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數．

（2）∵f（2）+f（2）=-1
∴f（ax+4）＞f（2+2）=f（4）
由（1）知f（x）在（0，+∞）上為減函數，∴0＜ax+4＜4
當a＞0時，解得-

4

a

＜x＜0
當a＜0時，解得0＜x＜-

4

a

當a=0時，無解

點評：本題主要考查抽象函數證明單調性問題和應用單調性解抽象不等式問題．