Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）若時，關于的方程有唯一解，求的值；

（3）當時，證明: 對一切，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）當是奇數時，在上是增函數，當是偶數時，在上是減函數，在上是增函數；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先利用導數公式求出,然后討論是奇數還是偶數，化簡函數，然后再定義域內求導數大于或是導數小于的解集，確定單調區間；（2）將唯一解問題轉化為在定義域內和軸有唯一交點問題，求在定義域內，導數為的值有一個，分析函數是先減后增，所以如果有一個交點，那么函數在定義域內的極小值等于，即可；（3）轉化為左邊函數的最小值大于有邊函數的最大值，要對兩邊函數求導，利用導數求函數的最值.

試題解析：解：（1）由已知得且．

當是奇數時，，則在上是增函數;

當是偶數時，則．

所以當時，，當時，．

故當是偶數時，在上是減函數，在上是增函數． 4分

（2）若，則．

記 ,

若方程有唯一解，即有唯一解； 令,得．因為，所以（舍去），． 當時，，在是單調遞減函數；

當時，，在上是單調遞增函數．

當時, ，． 因為有唯一解，所以．

則 即 設函數，

因為在時，是增函數，所以至多有一解．

因為，所以方程的解為，從而解得 10分

（3）當時， 問題等價證明

由導數可求的最小值是，當且僅當時取到，

設，則，

易得，當且僅當 時取到，

從而對一切，都有成立．故命題成立． 16分