Question

【題目】如圖，在棱長為的正方形中，、分別為，邊上的中點，現將點以為軸旋轉至點的位置，使得為直二面角．

（1）證明：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）根據題意畫出平面圖形及空間幾何圖形，由中位線定理及正方形性質證明面，即可得.

（2）．過作，以OA，OB，OM為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，即可由平面向量數量積定義求得異面直線與所成角的余弦值．

（1）證明：在正方形中，連結交于．連結，如下圖所示：

則．

因為、分別為，邊上的中點，

所以．

所以．

在空間幾何體中如下圖所示：

所以在棱錐中，，，

所以面，

又因為面，

所以．

（2）設．過作，已知OA，OB，OM兩兩垂直，

如圖分別以OA，OB，OM為，，軸建立空間直角坐標系如下圖所示：

，，，，，

，，

，

所以與面所成角的余弦值為．