Question

已知數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，對每一個k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個2，得到新數列{b_n}．設S_n，T_n 分別是數列{b_n}和數列{a_n}的前n項和．
（1）求數列{b_n}的前6項和S₆；
（2）a₁₀是數列{b_n}的第幾項；
（3）若a_m是數列{b_n}的第f（m）項，試比較S_f（m）與2T_m的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵數列{b_n}中前6項依次為1，2，3，2，2，5，∴數列{b_n}的前6項和S₆為1+2+3+2+2+5=15
（2）∵數列{b_n}中，對每一個k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個2，
∴a₁₀在數列{b_n}中的項數為10+1+2+4+…+2⁸=521
即a₁₀是數列{b_n}的第521項；
（3）a_n=2n-1，在數列{b_n}中，a_n及其前面所有項的和為1+3+…+（2m-1）+2+4+…+2^m-1=2^m+m²-2
即S_f（m）=2^m+m²-2又T_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²
∴S_f（m）-2T_m=（2^m+m²-2）-2m²=2^m-（m²+2）…（10分）
當m=1時，2^m=2，m²+2=3，故2^m＜m²+2；
當m=2時，2^m=4，m²+2=6，故2^m＜m²+2；
當m=3時，2^m=8，m²+2=11，故2^m＜m²+2；
當m=4時，2^m=16，m²+2=18，故2^m＜m²+2； …（12分）
當
因而當m=1，2，3，4時，S_f（m）＜2T_m；
當m≥5時且m∈N^*時，S_f（m）＞2T_m…（14分）
分析：（1）數列{b_n}中前6項依次為1，2，3，2，2，5，所以可求數列{b_n}的前6項和；
（2）因為在數列{bn}中，對每一個k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個2，所以a₁₀在數列{b_n}中的項數為：10+1+2+4+…+2⁸ 故問題得解；
（3）S_f（m）=2^m+m²-2又T_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²，要比較S_f（m）與2T_m的大小，作差，再進行討論即可．
點評：本題以等差數列為載體，考查新數列的理解．解決第（3）問的關鍵在于求出a_n及其前面所有項之和的表達式，再進行分類討論，有一定的難度．