Question

如圖，已知正六邊形P₁P₂P₃P₄P₅P₆，設(shè)a=

P1P2

•

P1P3

，b=

P1P2

•

P1P4

，c=

P1P2

•

P1P5

，d=

P1P2

•

P1P6

；則a，b，c，d的大小關(guān)系是

d＜c＜b＜a

．

Answer 1

分析：設(shè)正六邊形的邊長為1，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)算出向量

P1P2

與其它各個向量的夾角，再利用向量的數(shù)量積公式分別算出a、b、c與d的值，即可得到a、b、c、d的大小關(guān)系．

解答：解：設(shè)正六邊形P₁P₂P₃P₄P₅P₆的邊長為1，
∵△P₁P₂P₃中，∠P₁P₂P₃=120°，P₁P₂=P₂P₃，
∴∠P₂P₁P₃=30°，P₁P₃=

3

，
可得a=

P1P2

•

P1P3

=

|P1P2|

•

|P1P3|

cos∠P₂P₁P₃=

3

2

．
同理可得：b=

P1P2

•

P1P4

=

|P1P2|

•

|P1P4|

cos∠P₂P₁P₄=1；
c=

P1P2

•

P1P5

=

|P1P2|

•

|P1P5|

cos∠P₂P₁P₅=0；
d=

P1P2

•

P1P6

=

|P1P2|

•

|P1P6|

cos∠P₂P₁P₆=-

1

2

．
綜上所述，可得a、b、c、d的大小關(guān)系是d＜c＜b＜a．
故答案為：d＜c＜b＜a

點評：本題給出正六邊形中的幾個向量，求向量數(shù)量積的大小關(guān)系．著重考查了正六邊形的性質(zhì)、向量數(shù)量積的公式等知識，屬于中檔題．