Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）對(duì)任意的，，，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得到，對(duì)分情況進(jìn)行討論：、、、；

（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，從而把不等式中的絕對(duì)值去掉得：，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，求得實(shí)數(shù)的取值范圍。

（1），

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，或，，所以在，上單調(diào)遞增；

，，所以在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，或，，所以在，上單調(diào)遞增；

，，所以在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減；

，，所以在上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)?/span>，由（1）得，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，

由得，

即.

令，

，只需恒成立，

即恒成立，

即，

即.因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.