Question

【題目】如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD＝2AD＝8,AB＝2DC＝4.

(1)設M是PC上的一點,求證:平面MBD⊥平面PAD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 16.

【解析】試題分析：

(1)證得AD⊥BD,而面PAD⊥面ABCD,∴BD⊥面PAD,∴面MBD⊥面PAD.

(2)作輔助線PO⊥AD,則PO為四棱錐P—ABCD的高,求得S四邊形ABCD＝24.∴VP—ABCD＝16.

試題解析：

(1)證明:在△ABD中,∵AD＝4,BD＝8,AB＝4,∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.

又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD＝AD,BD面ABCD,∴BD⊥面PAD.

又BD面BDM,∴面MBD⊥面PAD.

(2)解：過P作PO⊥AD,

∵面PAD⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,即PO為四棱錐P—ABCD的高．

又△PAD是邊長為4的等邊三角形,∴PO＝2.

在底面四邊形ABCD中,AB∥DC,AB＝2DC,∴四邊形ABCD為梯形．

在Rt△ADB中,斜邊AB邊上的高為＝,此即為梯形的高.

∴S四邊形ABCD＝×＝24.

∴VP—ABCD＝×24×2＝16.