Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)A在x軸的非正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足0，A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點(diǎn)G（3，﹣2），動(dòng)直線x＝t（t＞3）與C相交于P，Q兩點(diǎn)，求過(guò)G，P，Q三點(diǎn)的圓在直線y＝﹣2上截得的弦長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），M（x，y），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合代入法，化簡(jiǎn)可得所求曲線C的方程；

（2）設(shè)P（t，2），Q（t，﹣2），設(shè)E（m，0），由|EG|＝|EP|，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，求得圓E的方程，再令y＝﹣2，求得圓在直線y＝﹣2上截得的弦長(zhǎng)，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.

（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），M（x，y），

由點(diǎn)F（1，0），0，所以，

又B為AM的中點(diǎn)，

所以0，b，所以a＝﹣x，

將代入可得

所以C的方程為；

（2）由（1）可得拋物線C的方程為，令x＝t，可得，

設(shè)P（t，2），Q（t，﹣2），由P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

所以過(guò)G，P，Q三點(diǎn)的圓E的圓心在x軸上，

設(shè)E（m，0），由|EG|＝|EP|，G（3，﹣2），

可得，

化簡(jiǎn)整理可得m，

圓E的方程為

令y＝﹣2，可得

所以圓E在直線y＝﹣2上截得的弦長(zhǎng)為

又因?yàn)?/span>且

所以，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào).

所以當(dāng)t＝3+2時(shí)，圓E在直線y＝﹣2上截得的弦長(zhǎng)的最小值為4+4.