Question

【題目】隨著現(xiàn)代電子技術的迅猛發(fā)展，關于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門新的學科——可靠性理論．在可靠性理論中，一個元件正常工作的概率稱為該元件的可靠性．元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性．現(xiàn)有（，）種電子元件，每種2個，每個元件的可靠性均為（）．當某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路．現(xiàn)要用這個元件組成一個電路系統(tǒng)，有如下兩種連接方案可供選擇，當且僅當從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作．

（1）（i）分別寫出按方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性、（用和表示）；

（ii）比較與的大小，說明哪種連接方案更穩(wěn)定可靠；

（2）設，，已知按方案②建立的電路系統(tǒng)可以正常工作，記此時系統(tǒng)中損壞的元件個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】（1）（i），（ii），按方案②建立的電路系統(tǒng)更穩(wěn)定可靠．（2）見解析，

【解析】

（1）（i）利用對立事件的概率公式計算，個元件串聯(lián)通路的概率是，而個元件并聯(lián)時不通的概率是，由此可計算可計算方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性、；（ii）作差后構造函數(shù)，利用導數(shù)可得其單調性從而得與的大小，得出結論；

（2）在方案②電路系統(tǒng)可以正常工作的條件下，元件損壞的概率是條件概率，可計算編號相同的兩個并聯(lián)元件中至多有一個損壞，且有一個損壞的條件概率為，由此可知，，依次計算出各概率，得分布列，再由二項分布計算出期望．

解：（1）（i）按方案①建立的電路系統(tǒng)的可靠性；

按方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性為；

（ii）．

令，且，則．

當時，，從而，所以在上單調遞增；

當時，，即．

所以，，按方案②建立的電路系統(tǒng)更穩(wěn)定可靠．

（2）在方案②電路系統(tǒng)可以正常工作的條件下，編號相同的兩個并聯(lián)元件中至多有一個損壞，且有一個損壞的條件概率為，由此可知，．

，，，

，；

所以，隨機變量的分布列為

	0	1	2	3	4

．