Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是其左、右焦點，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質列出方程，求得的值，即可求得橢圓的標準方程；

（2）由（1）得，，的坐標，得到的外接圓的圓心一定在軸上，設的外接圓的圓心為，半徑為，圓心的坐標為，根據(jù)及兩點間的距離公式，列出方程，解得，從而確定圓心坐標和半徑，即可求解.

（1）因為橢圓的離心率為，所以. ①

又橢圓過點，所以代入得. ②

又， ③

由①②③，解得.

所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）得，，的坐標分別是，

因為的外接圓的圓心一定在邊的垂直平分線上，

即的外接圓的圓心一定在軸上，

所以可設的外接圓的圓心為，半徑為，圓心的坐標為，

則由及兩點間的距離公式，得，

即，化簡得，解得，

所以圓心的坐標為，半徑，

所以的外接圓的方程為，即.