Question

（2012•吉安縣模擬）設a₁，a₂，…，a_n是正整數1，2，3…n的一個排列，令b_j表示排在j的左邊且比j大的數的個數，b_j稱為j的逆序數，如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序數是0，2的逆序數是3，則由1至9這9個數字構成的所有排列中，滿足1的逆序數是2，2的逆序數是3，5的逆序數是3的不同排列種數是（　　）

A．720

B．1008

C．1260

D．1440

Answer 1

分析：由題意知1必在第3位，2必在第5位； 5可以在第6位，5也可以在第7位，5也可以在第8位；分3種情況進行討論．

解答：解：由題意知，1必在第3位，2必在第5位； 5可以在第6位，5可以在第7位，5也可以在第8位．
若5在第6位，則5前面有3個空位，需從6，7，8，9中選出3個填上，
把剩下的3個數填在5后面的3個空位上，則有C₄³A

3 3

A

3 3

═144種，
若5在第7位，則5前面有4個空位，其中3，4當中的一個應填在其中的一個空位上，余下3個空位，需從6，7，8，9中選出3個填上；其它2個數填在剩余的2個位上，則有C₄³C₂¹A

4 4

A₂²=384種，
若5在第8位，則5前面有5個空位，其中3，4應填在其中的兩個空位上，余下3個空位，需從6，7，8，9中選出3個填上；其它1個數填在剩余的1個位上，則有C₄³C₂²A

5 5

A₁¹=480種，
合計為：144+384+480=1008種，
故選：B．

點評：本題考查排列、組合及簡單計數問題的應用，體現了分類討論的數學思想，本題解題的關鍵是分類時做到不重不漏．