Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求，的值；

（2）當時，在區間上至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)m=2，n=﹣1；(2).

【解析】分析：（1）求出函數的導數，結合切點坐標求出，的值即可；

（2）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出m的范圍即可.

詳解：（1）∵f′（x）=﹣+n，

故f′（0）=n﹣m，即n﹣m=﹣3，

又∵f（0）=m，故切點坐標是（0，m），

∵切點在直線y=﹣3x+2上，

故m=2，n=﹣1；

（2）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，

當m≤0時，f′（x）＞0，

故函數f（x）在（﹣∞，1）遞增，

令x0=a＜0，此時f（x）＜0，符合題意，

當m＞0時，即0＜m＜e時，則函數f（x）在（﹣∞，lnm）遞減，在（lnm，+∞）遞增，

①當lnm＜1即0＜m＜e時，則函數f（x）在（﹣∞，lnm）遞減，在（lnm，1]遞增，

f（x）min=f（lnm）=lnm+1＜0，解得：0＜m＜，

②當lnm＞1即m≥e時，函數f（x）在區間（﹣∞，1）遞減，

則函數f（x）在區間（﹣∞，1）上的最小值是f（1）=+1＜0，解得：m＜﹣e，無解，

綜上，m＜，即m的范圍是（﹣∞，）．