Question

【題目】如圖所示的幾何體中，．

(1)求證：平面ABCD；

(2)若，點F在EC上，且滿足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）在中，根據已知的邊、角條件運用余弦定理可得出，再由

，

得出平面ABE.，由線面垂直的性質得，再根據線面垂直的判定定理得證；

（2）在以B為原點，建立空間直角坐標系，得出點的坐標，求出面的法向量，由（1）得平面ABCD，所以為平面ABCD的一個法向量，再根據向量的夾角公式求得二面角的余弦值.

（1）在中，

由余弦定理可得

所以，所以所以是直角三角形，.

又，所以平面ABE.

因為平面ABE，所以，因為,

所以平面ABCD.

（2）由（1）知，平面ABE，所以平面平面AEB，在平面ABE中，過點B作，則平面BEC，如圖，以B為原點，BE,BC所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則,

因為，所以，易知,

設平面ADF的法向量為

則

即令則

所以為平面ADF的一個法向量，

由（1）知平面ABCD，所以為平面ABCD的一個法向量.

設二面角的平面角為，

由圖知為銳角，則

所以二面角的余弦值為.