Question

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，取與直角坐標系相同的長度單位建立極坐標系.曲線的參數方程為，（為參數），曲線的極坐標方程為，且與交單的橫坐標為.

（1）求曲線的普通方程.

（2）設為曲線與軸的兩個交點，為曲線上不同于的任意一點，若直線與分別與交于兩點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由消參后可得含參的普通方程，把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，由兩曲線相交的交點橫坐標求得，從而所求方程；

（2）不妨設為橢圓上頂點即，用參數方程設出點坐標，計算出的橫坐標，計算即得．

（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為，可知它們的交點為，代入曲線的普通方程可求得，所以曲線的普通方程為.

（2）由（1）可知曲線為橢圓，不妨設為橢圓的上頂點，則的坐標為.則，

設，，，因此直線與分別與軸交于兩點，

∴，，即，，∴，，

∴，因此為定值4.