Question

【題目】已知函數在區間上的最大值為，最小值為，記，；

（1）求實數、的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的范圍；

（3）對于定義在上的函數，設，，用任意將劃分成個小區間，其中，若存在一個常數，使得不等式恒成立，則稱函數為在上的有界變差函數，試證明函數是在上的有界變差函數，并求出的最小值；

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析，；

【解析】

（1）由已知在區間上的最大值為4，最小值為1，結合函數的單調性及最值，易構造關于的方程組，解得的值。

（2）求出，對任意恒成立等價于恒成立，求實數的范圍。

（3）根據有界變差函數的定義，我們先將區間進行劃分，進而判斷是否恒成立，進而得到結論。

（1）因為，因為，對稱軸

所以在區間上是增函數，

又函數在區間上的最大值為，最小值為

所以

解得：

所以

故實數

（2）由（1）可知

因為，所以

因為對任意恒成立，

令

根據二次函數的圖像和性質可得：

則

令，則

解得：

即

所以

（3）函數為上的有界變差函數，又為上的單增函數，

且對任意劃分

有

所以

所以存在常數M使得恒成立，即