Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓Ω： 的離心率為 ，直線l：y=2上的點和橢圓Ω上的點的距離的最小值為1．

（Ⅰ） 求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ） 已知橢圓Ω的上頂點為A，點B，C是Ω上的不同于A的兩點，且點B，C關于原點對稱，直線AB，AC分別交直線l于點E，F．記直線AC與AB的斜率分別為k1 ， k2
①求證：k1k2為定值；
②求△CEF的面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題知b=1，由 ，
所以a2=2，b2=1．
故橢圓的方程為 ．
（Ⅱ）①證法一：設B（x0 ， y0）（y0＞0），則 ，
因為點B，C關于原點對稱，則C（﹣x0 ， ﹣y0），
所以 ．
證法二：直線AC的方程為y=k1x+1，
由 得 ，
解得 ，同理 ，
因為B，O，C三點共線，則由 ，
整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，
所以 ．
②直線AC的方程為y=k1x+1，直線AB的方程為y=k2x+1，不妨設k1＞0，則k2＜0，
令y=2，得 ，
而 ，
所以，△CEF的面積 =
= ．
由 得 ，
則S△CEF= ，當且僅當 取得等號，
所以△CEF的面積的最小值為
【解析】（Ⅰ）由題知b=1，由 ，b=1，聯立解出即可得出．（Ⅱ）①證法一：設B（x0 ， y0）（y0＞0），則 ，因為點B，C關于原點對稱，則C（﹣x0 ， ﹣y0），利用斜率計算公式即可得出．證法二：直線AC的方程為y=k1x+1，與橢圓方程聯立可得坐標，即可得出．②直線AC的方程為y=k1x+1，直線AB的方程為y=k2x+1，不妨設k1＞0，則k2＜0，令y=2，得 ，可得△CEF的面積 ．