Question

【題目】已知直線 過坐標原點 ，圓 的方程為 ．
（1）當直線 的斜率為 時，求 與圓 相交所得的弦長；
（2）設直線 與圓 交于兩點 ，且 為 的中點，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，直線l的方程為y= x，圓C圓心為（0，3），半徑為 ，
所以，圓心到直線l的距離為 = ．…
所以，所求弦長為2 =2
（2）解：設A（x1 ， y1），因為A為OB的中點，則B（2x1 ， 2y1）．
又A，B在圓C上，
所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．
解得y1=1，x1=±1，
即A（1，1）或A（﹣1，1）
所以，直線l的方程為y=x或y=﹣x
【解析】（Ⅰ）由已知，直線l的方程為y=x，圓C圓心為（0，3），半徑為，求出圓心到直線l的距離，即可求l與圓C相交所得的弦長；
（Ⅱ）設直線l與圓C交于兩點A，B，且A為OB的中點，求出A的坐標，即可求直線l的方程．幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關系判斷．
圓心到直線的距離d:
①相交：d＜r,
②相切：d=r,
③相離：d＞r.