Question

【題目】已知x＝1是函數f(x)＝ax3－x2＋(a＋1)x＋5的一個極值點．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝2x＋m有三個交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的解析式為f(x)＝x3－x2＋2x＋5； （2）m的取值范圍為

【解析】試題分析：（I）利用三次函數在極值點處的導數為零，即可解得a的值，進而確定函數的解析式；（II）將兩曲線有三個交點問題，轉化為函數g（x）=f（x）﹣（2x+m）有三個零點問題，利用導數研究函數g（x）的單調性和極值，找到問題的充要條件，列不等式即可解得m的范圍

試題解析：

解：(1)依題意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，

由f′(1)＝0得a＝1，

∴函數f(x)的解析式為f(x)＝x3－x2＋2x＋5.

(2)曲線y＝f(x)與直線y＝2x＋m有三個交點，

即x3－x2＋2x＋5－2x－m＝0有三個實數根，

令g(x)＝x3－x2＋2x＋5－2x－m＝x3－x2＋5－m，則g(x)有三個零點．

由g′(x)＝x2－3x＝0得x＝0或x＝3.

令g′(x)>0得x<0或x>3；令g′(x)<0得0<x<3.

∴函數g(x)在(－∞，0)上為增函數，在(0，3)上為減函數，在(3，＋∞)上為增函數．

∴函數在x＝0處取得極大值，在x＝3處取得極小值．

要使g(x)有三個零點，只需 解得 <m<5.

∴實數m的取值范圍為.