Question

【題目】已知 的左、右焦點分別為 ， ，點 在橢圓上， ，且 的面積為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）點 是橢圓上任意一點， 分別是橢圓的左、右頂點，直線 與直線 分別交于 兩點，試證：以 為直徑的圓交 軸于定點，并求該定點的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）解；因為 ，所以 ， .

由題意得 ，解得 .

從而 ，結合 ，得 ，

故橢圓的方程為 .

（2）解：由（1）得 ， ，

設 ，則直線 的方程為 ，

它與直線 的交點的坐標為 ，

直線 的方程為 ，它與直線 的交點的坐標為 ，

再設以 為直徑的圓交 軸于點 ，則 ，從而 ，即

，即 ，解得 .

故以 為直徑的圓交 軸于定點，該定點的坐標為 或 .

【解析】(1) 由已知求出PF2F1的正弦和余弦值，再利用面積公式以及余弦定理可求得點P到兩焦點的距離，求出a的值進而得到b的值故可求出橢圓的方程。(2)由(1)的方程求出兩個定點的坐標，設出點M的坐標得到直線的方程，進而可求出點E、F的坐標，利用兩條直線垂直斜率之積等于-1即可求出m的值。