Question

【題目】對于R上的可導函數f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，則必有（ ）
A.f（a）+f（b）＜2f（1）
B.f（a）+f（b）≤2f（1）
C.f（a）+f（b）≥2f（1）
D.f（a）+f（b）＞2f（1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由（x﹣1）f′（x）≥0可以得知，
若（x﹣1）f′（x）＞0，則有以下兩種情況：
①當x＞1時，有f′（x）＞0；
②當x＜1時，有f′（x）＜0，
∴可以得知當x＞1時，f（x）單調遞增，當x＜1時，f（x）單調遞減，
∵a＞b＞1，
∴f（a）＞f（b）＞f（1）
∴f（a）+f（b）＞2f（1），
而當（x﹣1）f′（x）=0時，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），
∴f（a）+f（b）=2f（1），
綜上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），
故選：C．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．