Question

【題目】已知數列{an}滿足Sn+an=2n+1．
（1）寫出a1 ， a2 ， a3 ， 并推測an的表達式；
（2）用數學歸納法證明所得的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1，時S1+a1=2a1=3

∴a1=

當n=2時，S2+a2=a1+a2+a2=5

∴a2= ，

同樣令n=3，則可求出a3=

∴a1= ，a2= ，a3=

猜測an=2﹣

（2）解：①由（1）已得當n=1時，命題成立；

②假設n=k時，命題成立，即ak=2﹣ ，

當n=k+1時，a1+a2+…+ak+2ak+1=2（k+1）+1，

且a1+a2+…+ak=2k+1﹣ak

∴2k+1﹣ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，

∴2ak+1=2+2﹣ ，即ak+1=2﹣ ，

即當n=k+1時，命題成立．

根據①②得n∈N+，an=2﹣ 都成立．

【解析】（1）取n=1，2，3，分別求出a1 ， a2 ， a3 ， 然后仔細觀察，總結規律，猜測an的值．（2）用數學歸納法進行證明，①當n=1時，命題成立；②假設n=k時，命題成立，即ak=2﹣ ，當n=k+1時，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2﹣ ，當n=k+1時，命題成立．故an=2﹣ 都成立．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式和數學歸納法的定義的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能正確解答此題．