Question

如圖，棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別為棱AB，BC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥A₁C₁；
（Ⅱ）求異面直線EF與AD₁所成角的大小；
（Ⅲ）求點E到平面AD₁C的距離．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）利用三角形的中位線定理和正方體的性質即可證明；
（II）利用正方體的性質、等邊三角形的性質和異面直線所成的角即可得出；
（III）利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： （I）證明：在△ABC中，∵點E，F分別為棱AB，BC的中點，∴EF∥AC．
由正方體的性質可知：對角面ACC₁A₁為矩形，∴AC∥A₁C₁，
∴EF∥A₁C₁．
（Ⅱ）解：又正方體的性質可得△ACD₁為等邊三角形，
∴∠CAD₁=60°．
由（I）可知：∠CAD₁即為異面直線EF與AD₁所成的角．
因此異面直線EF與AD₁所成角為60°．
（Ⅲ）解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
則A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），E（2，1，0）．
∴

AC

=（-2，2，0），

AD1

=（-2，0，2），

AE

=（0，1，0）．
設平面ACD₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =-2x+2y=0 n • AD1 =-2x+2z=0

，令x=1，則y=z=1．
∴

n

=（1，1，1）．
∴點E到平面AD₁C的距離d=

| n • AE |

| n |

=

1

3

=

3

3

．

點評：本題綜合考查了三角形的中位線定理、正方體的性質、等邊三角形的性質、異面直線所成的角、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題．