Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²-4x+4的圖象關于點（0，4）對稱．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的極值；
（Ⅲ）求f（x）在區間[0，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知條件得到f（x）+f（-x）=8，令x=1，能求出a的值．
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-4x+4，f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），令f′（x）=0，得x=-2，x=2，由此列表討論，能求出f（x）的極值．
（Ⅲ）由f（0）=4，f（3）=1，能求出f（x）在[0，3]上最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數y=f（x）的圖象關于點（0，4）對稱，
∴f（x）+f（-x）=8，
令x=1，得

1

3

+a-

1

3

+a+4+4=8，a=0．（3分）
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-4x+4，f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），（4分）
令f′（x）=0，得x=-2，x=2，
當x＜-2或x＞2時，f′（x）＞0；
當-2＜x＜2時，f′（x）＜0，（6分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	28 3	↘	- 4 3	↗

（8分）
∴當x=-2時，f（x）有極大值，為f(-2)=

28

3

；
當x=2時，f（x）有極小值f(2)=-

4

3

．（10分）
（Ⅲ）∵f（0）=4，f（3）=1，
由（2）知f（x）在[0，3]上最大值是4，最小值是-

4

3

．（12分）

點評：本題考查函數的極值和最值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．