Question

【題目】已知函數是上的偶函數．

（1）求值；

（2）解的不等式的解集；

（3）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）（﹣2，2）；（3）．

【解析】

（1）根據函數的奇偶性求出a的值即可；

（2）設2x＝t，則不等式即為，再解關于x的不等式即可；

（3）問題轉化為m在（0，+∞）恒成立，設t＝2x，（t＞1），則m在t＞1恒成立，從而求出m的范圍即可．

（1）∵f（x）為偶函數，

∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，

∴f（﹣x）﹣f（x）＝0恒成立，

∴，恒成立，

即恒成立，

，

∵a＞0，∴a＝1，∴a＝1；

（2）由（1）知，

設2x＝t，則不等式即為，

∴，

所以原不等式解集為（﹣2，2）；

（3）f（x）＝2x+2﹣x﹣1，

mf（x）≥2﹣x﹣m，

即m在（0，+∞）恒成立，

設t＝2x，（t＞1），則m在t＞1恒成立，

又y在t＞1單調遞減，得

故．