Question

【題目】已知函數，曲線在處的切線交軸于點．

（1）求的值；

（2）若對于內的任意兩個數，，當時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出原函數的導函數，得到f′（1），求出f（1），可得切線方程，代入（0，）即可求得m值；

（2）把（1）中求得的m值代入函數解析式，設x1＞x2，把對于（1，+∞）內的任意兩個數x1，x2，a（x1+x2）轉化為，設g（x）＝f（x）﹣ax2，則g（x）＝x2lnxx3+x﹣ax2 在（1，+∞）上為減函數，可得g′（x）＝2xlnx+x﹣x2+1﹣2ax≤0對x＞1恒成立，分離參數a，再由導數求最值得答案．

解：（1）由，得，

，，

∴曲線在處的切線方程為，

則，解得；

（2），

不妨設，對于內的任意兩個數，，，

即有，

設，則在上為減函數．

則對恒成立．

可得在上恒成立．

令，，

則在上單調遞減，

∴．

∴，即．

∴實數的取值范圍是．