Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x-1的圖象與x軸交點個數(shù)為

 

個．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值，利用極值與x軸的關(guān)系進(jìn)行判斷即可

解答： 解：函數(shù)導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
由f′（x）=（x+1）（x-3）＞0，得x＞3或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f′（x）=（x+1）（x-3）＜0，得-1＜x＜3，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x=-1時，函數(shù)取得極大值f（-1）=

2

3

＞0．
當(dāng)x=3，函數(shù)取得極小值f（3）=-10＜0，
所以函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x-1的圖象與x軸的交點個數(shù)是3個．
故答案為：3

點評：本題主要考查三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極大值和極小值是解決本題的關(guān)鍵．