Question

【題目】已知二次函數f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）當x∈[﹣1，1]時，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求實數m的范圍．

（3）設g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析。

【解析】

試題分析：（1）由于函數為二次函數，所以設，由得，則轉化為，整理得：，于是根據待定系數法有：，所以，則；（2）由（1）知，當時，不等式恒成立，轉化為恒成立，則只需，當時，為減函數，所以，所以；（3），對稱軸為，函數為開口向上的拋物線，分析可知函數在區間上的最大值應在區間端點處取得。于是可以分和兩種情況討論即可。

試題解析：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由得，代入f（x+1）﹣f（x）=2x，

得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0，所以，

∴f（x）=x2﹣x+1；

（2）當x∈[﹣1，1]時，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立；

令，

x∈[﹣1，1]，

則對稱軸：，

則g（x）min=g（1）=﹣1，

∴m＜﹣1；

（3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈[﹣1，1]

對稱軸為：，

①當時，即：；如圖1：

g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7

②當時，即：；如圖2：

g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3，

綜上所述：．