Question

【題目】已知 (n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)的與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10∶1.

(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；

(2)求展開式中含的項(xiàng)；

(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【解析】

（1）已知的展開式中第五項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是，由此關(guān)系建立起方程，求出；(2)由（1) ，利用展開式中項(xiàng)的公式,令的指數(shù)為解出,即可得到的項(xiàng)；(3)利用,得出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) .

解：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為C·(－2)4，第三項(xiàng)的系數(shù)為C·(－2)2，則，

化簡得n2－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)8＝1.

(2)通項(xiàng)公式Tr＋1＝C ()8－r＝C (－2)rx－2r，

令－2r＝，則r＝1.

故展開式中含的項(xiàng)為.

(3)設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r＋1項(xiàng)，第r＋2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，

若第r＋1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，

則解得5≤r≤6.

又T6的系數(shù)為負(fù)，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝1 792x－11

由n＝8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，

此時(shí).