Question

【題目】已知橢圓C:的離心率為，點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設動直線與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線， 的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當圓的方程為時，圓與的交點滿足斜率之積為定值.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓離心率可知，點在橢圓上，將代入橢圓方程，再結合，即可求出橢圓的標準方程；（2）當直線斜率存在時利用解的性質可以得，，，可以確定當為定值時，，當直線斜率不存在時，確定直線方程，進行判斷，即可得到圓的方程.

試題解析：（1）解：由題意，得，又因為點在橢圓上，所以

， 解得， 所以橢圓的方程為.

（2）結論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為.證明如下：

假設存在符合條件的圓，并設此圓的方程為.

當直線的斜率存在時，設的方程為.

由方程組 得，

因為直線與橢圓有且僅有一個公共點，

所以，即.

由方程組 得，

則.

設，則，

設直線 的斜率分別為，所以.

，

將代入上式，得.

要使得為定值，則，即，驗證符合題意.

所以當圓的方程為時，圓與的交點滿足為定值.

當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為，

此時，圓與的交點也滿足.

綜上，當圓的方程為時，圓與的交點滿足斜率之積為定值.