Question

【題目】如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側視圖(其中正視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側視圖為直角三角形，尺寸如圖所示)．

(1)求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)證明：BD∥平面PEC；

(3)線段BC上是否存在點M，使得AE⊥PM？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）結合三視圖，得到四棱錐P﹣ABCD的相關棱長，從而求出體積；（2）連接AC交BD于O點，取PC中點F，連接OF，要證明BD∥平面PEC，只需證明BD平行平面PEC內的直線EF即可；（3）連接BP，要證AE⊥PM，只需證明AE⊥平面PBM，即可證明AE⊥PM．

（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，

且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，∴VP﹣ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝．

（2）證明：連接AC交BD于O點，取PC中點F，連接OF，∵EB∥PA，且EB＝PA，

又OF∥PA，且OF＝PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四邊形EBOF為平行四邊形，

∴EF∥BD．又EF平面PEC，BD平面PEC，所以BD∥平面PEC．

（3）連接BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA+∠BAE＝∠BEA+∠BAE＝90°，

∴PB⊥AE．又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，且PB BC=B

∴AE⊥平面PBC，點M在線段BC上∴AE⊥PM．