Question

【題目】已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且斜率不為的直線交橢圓于、兩點，在軸上是否存在定點，使得直線的斜率與直線的斜率之積為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點的坐標為．

【解析】

（1）根據橢圓的對稱性可知點、、在橢圓上，可得出關于、的方程組，解出和的值，即可求得橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，設點、、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，結合斜率公式并代入韋達定理，由已知條件可求得實數的值，進而得解.

（1）由于、兩點關于軸對稱，故由題設知經過、兩點

易知橢圓不經過點，所以點在上，因此，解得，

因此，橢圓的方程為；

（2）由題意知直線的斜率不為，

設直線的方程為，設點，，，

設直線的斜率為，直線的斜率為．

由，消去，得，

易知，得，，

．

當，即時，為定值，

當時，；當時，．

此時點的坐標為．