Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，點.已知拋物線(是常數)，頂點為.

(1)當拋物線經過點時，求頂點的坐標；

(2)若點在軸下方，當時，求拋物線的解析式；

(3)無論取何值，該拋物線都經過定點.當時，求拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）將點坐標代入解析式求得的值即可得；

（2）先求出頂點的坐標，根據知點在第四象限且,列出關于的方程，解知可得；

（3）由知，過點作,交射線于點,分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，證得,據此知點的坐標為或，再求出直線的解析式，將點的坐標代入求得的值即可得出答案.

（1）拋物線經過點

解得：

拋物線解析式為

頂點的坐標為；

（2）拋物線的頂點的坐標為，

由點在軸的正半軸上，點在軸的下方，知點在第四象限，如圖1，過點作軸于點，

則，可知，即，

解得：

當時，點不在第四象限，舍去；

拋物線的解析式為；

（3）由，可知當時，無論取何值時都等于，

點的坐標為，

過點作，交射線于點，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為

則

則點的坐標為或；

①當點的坐標為時，可得直線的解析式為

點在直線上，

，

當時，點與點重合，不符合題意，

；

②當點的坐標為時，可得直線的解析式為，

點在直線上，

，

解得：或，

則拋物線的解析式為或