Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（-1，5），點M的極坐標為（4，

π

2

）．若直線l過點P，且傾斜角為

π

3

，圓C以M為圓心，半徑為4．
（Ⅰ）求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關系．

Answer 1

分析：（1）設直線l上動點坐標為Q（x，y），利用傾斜角與斜率的公式建立關系式得到x、y關于t的方程組，即可得到直線l的參數方程；由圓的性質和極坐標的定義，利用題中數據可得圓C的極坐標方程；
（2）將直線l與圓C都化成直角坐標方程，利用點到直線的距離公式加以計算，得到圓心到直線的距離比圓C半徑大，從而得到直線l和圓C的位置關系．

解答：解：（1）∵直線l過點P（-1，5），傾斜角為

π

3

，
∴設l上動點坐標為Q（x，y），則

y-5

x+1

=tan

π

3

=

sin π 3

cos π 3

，
因此，設y-5=tsin

π

3

=

3

2

t，x+1=tcos

π

3

=

1

2

t，
得直線l的參數方程為

y=-5+ 3 2 t x=1+ 1 2 t

（t為參數）．
∵圓C以M（4，

π

2

）為圓心，4為半徑，
∴圓心坐標為（0，4），圓的直角坐標方程為x²+（y-4）²=16
∵

x2+y2=ρ2  y=ρsinθ

，∴圓C的極坐標方程為ρ=8sinθ．
（2）將直線l化成普通方程，得

3

x-y-5-

3

=0，
∵點C到直線l的距離d=

|-2-5- 3 |

1+3

=

|-4-5- 3 |

1+3

=

1

2

(9+

3

)＞4=r，
∴直線l和圓C相離．

點評：本題考查直線的參數方程，圓的極坐標方程，和普通方程的互化，直線與圓的位置關系，是中檔題．