Question

（2012•許昌縣一模）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知點P的極坐標為（

2

，

π

4

），直線l過點P，且傾斜角為

2π

3

，方程

x2

36

+

y2

16

=1所對應的曲線經過伸縮變換

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

后的圖形為曲線C．
（Ⅰ）求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標系方程．
（Ⅱ）直線l與曲線C相交于兩點A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定P的直角坐標，利用直線l過點P，且傾斜角為

2π

3

，可得直線l的參數方程；確定坐標之間的關系，代入方程，化簡可得結論；
（Ⅱ）直線l的參數方程，代入曲線方程，利用參數的幾何意義，即可求|PA|•|PB|的值．

解答：解：（Ⅰ）P的直角坐標為（1，1）
∵直線l過點P，且傾斜角為

2π

3

，∴直線l的參數方程為

x=1- 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t為參數）
∵伸縮變換

x′= 1 3 x y′= 1 2 y

，∴

x=3x′ y=2y′

代入

x2

36

+

y2

16

=1，可得

(3x′)2

36

+

(2y′)2

16

=1，即x′²+y′²=4
∴曲線C的直角坐標系方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）直線l的參數方程為

x=1- 1 2 t y=1+ 3 2 t

，代入曲線C可得t²+（

3

-1）t-2=0
設方程的根為t₁，t₂，則t₁+t₂=

3

-1；t₁t₂=-2
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=2

點評：本題考查直線的參數方程，考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查參數的幾何意義，屬于中檔題．