Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線l經過點P（1，1），傾斜角α=

π

6

．
（I）寫出直線l的參數方程是

x= 3 t+1 y=t+1

（t為參數），

（II）設l與圓ρ=2相交與兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積是

2

．

Answer 1

分析：（I）設出直線l上任意一點Q，利用直線斜率的坐標公式可得到坐標的關系：（y-1）：（x-1）=1：

3

，再令
x-1=

3

t，以t為參數，可以得到直線l的參數方程；
（II）將圓ρ=2化成普通方程，再與直線的參數方程聯解，得到一個關于t的一元二次方程．再用一元二次方程根與系數的關系，結合兩點的距離公式，可得出P到A、B兩點的距離之積．

解答：解：（I）設直線l上任意一點Q（x，y）
∵直線l經過點P（1，1），傾斜角α=

π

6

．
∴直線的斜率為k=

y-1

x-1

=

3

3

=

1

3

設x-1=

3

t，則y-1=t
∴

x= 3 t+1 y=t+1

（t為參數），即為直線l的參數方程．
（II）圓ρ=2化成直角坐標方程：x²+y²=4
將x=

3

t+1，則y=t+1代入，得：（

3

t+1）²+（t+1）²=4
∴2t²+（

3

+1）t-1=0…（*）
∵l與圓ρ=2相交與兩點A、B
∴A（

3

t₁+1，t₁+1），B（

3

t₂+1，t₂+1），其中t₁、t₂是方程（*）的兩個實數根．
 由根與系數的關系，得

t1+t2=- 3 +1 2 t1t2=- 1 2

P到A、B兩點的距離分別為：
PA=

( 3 t1) 2+t1  2

=2|t1|，PB=

( 3 t2) 2+t2 2

=2|t2|
∴點P到A、B兩點的距離之積為PA•PB=4|t₁t₂|=2
故答案為：

x= 3 t+1 y=t+1

（t為參數），2

點評：本題考查了直線的參數方程、簡單曲線的極坐標方程和直線與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中用根與系數的關系，設而不求的思想方法．