Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的最小值為，求的值；

（2）證明: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由題意得，的最小值問(wèn)題，需要借助于導(dǎo)數(shù)，對(duì)比極值與端點(diǎn)值確定，而由最值也可確定出未知量；（2）借助第一問(wèn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最常見(jiàn)的形式：.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，且.若，則，于是在上單調(diào)遞增，故無(wú)最小值，不合題意，若，則當(dāng)時(shí)， ;當(dāng)時(shí)， .故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.于是當(dāng)時(shí)， 取得最小值.由已知得, 解得.綜上， .

（2）①下面先證當(dāng)時(shí)， .因?yàn)?/span>, 所以只要證.由（1）可知, 于是只要證，即只要證, 令，則,當(dāng)時(shí)， , 所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， ，即，故當(dāng)時(shí)，不等式成立 .② 當(dāng)時(shí)，由（1）知, 于是有，即,所以, 即,又因?yàn)?/span>, 所以,所以

,綜上，不等式

成立.