Question

【題目】已知圓M：x2+（y﹣4）2=4，點P是直線l：x﹣2y=0上的一動點，過點P作圓M的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）當切線PA的長度為2 時，求點P的坐標；
（2）若△PAM的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由；
（3）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知，圓M的半徑r=2，設P（2b，b），

因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°，

所以MP= ，解得

所以

（2）解：設P（2b，b），因為∠MAP=90°，所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，

其方程為：

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0

由 ，

解得 或 ，所以圓過定點

（3）解：因為圓N方程為（x﹣b）2+（y﹣ ）2=

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0…①

圓M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②

②﹣①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0

點M到直線AB的距離

相交弦長即：

當 時，AB有最小值

【解析】（1）因為PA是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°，所以MP= ，即可點P的坐標；（2）設P（2b，b），因為∠MAP=90°，所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，其方程為： ，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，即可得出結論；（3）求出點M到直線AB的距離，利用勾股定理，即可求線段AB長度的最小值．