Question

【題目】已知函數．

（1）解不等式；

（2）設函數的最小值為c，實數a，b滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通過①當x＜1時，②當1≤x≤3時，③當x＞3時，去掉絕對值符號，求解即可；

（2）由絕對值不等式性質得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2．令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式轉化求解證明即可．

①當時，不等式可化為，．

又∵，∴；

②當時，不等式可化為，．

又∵，∴．

③當時，不等式可化為，．

又∵，∴．

綜上所得，．

∴原不等式的解集為．

（2）證明：由絕對值不等式性質得，，

∴，即．

令，，則，，，，

，

原不等式得證．