Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.

(1)若直線l過點A(4，0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝0或7x＋24y－28＝0.（2）或

【解析】(1)設直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離d＝＝1，結合點到直線距離公式，得＝1，化簡得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.

所求直線l的方程為y＝0或y＝－ (x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)設點P坐標為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－ (x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－ x－y＋n＋m＝0.

因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理，得圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故有，

化簡得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.

因為關于k的方程有無窮多解，所以有

解得點P坐標為或.