Question

【題目】已知四棱錐中，底面為矩形，且，，若平面，，分別是線段，的中點.

（1）證明：；

（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，確定點的位置：若不存在，說明理由；

（3）若與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，為的一個四等分點（靠近點）時，平面；（3）.

【解析】

（1）連接，利用勾股定理，證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，即可證得；

（2）過點作交于點，利用面面平行的判定定理，證得平面平面，得到平面，即可得到結論；

（3）取的中點，連接，過點作于點，連接，得到則平面，得出為二面角的平面角，直角中，即可求解.

（1）連接，則，，又，

由，所以，

又由平面，則，

又由，所以平面，

又因為平面，所以．

（2）過點作交于點，則平面，且有，

再過點作交于點，連接，則平面且，

所以平面平面，又由平面，所以平面，

所以當為的一個四等分點（靠近點）時，使得平面．

（3）因為平面，

所以是與平面所成的角，且，所以，

取的中點，連接，則，平面，所以，

在平面中，過點作于點，連接，則平面，

則為二面角的平面角，

因為，所以，

因為，，，且，

所以，，

在直角中，，

故二面角的余弦值為.