Question

【題目】設(shè)a,b,c是△ABC的三邊,P: , Q:方程x2 +2ax+b2 = 0與方程x2 +2cx－b2 = 0有公共根. 則P是Q的_____.(填：充分不必要條件,必要而不充分條件,充要條件,既不充分也不必要條件)

Answer 1

【答案】充要條件

【解析】

要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行分析，充分性，即假設(shè)A＝90°成立判斷兩個(gè)方程是否有公共根，必要性，設(shè)兩個(gè)方程公共根為m，判斷A＝90°是否成立，分析兩個(gè)方面即可得結(jié)論．

充分性：當(dāng)A＝90°時(shí)，a2＝b2+c2．

于是x2+2ax+b2＝0x2+2ax+a2﹣c2＝0[x+（a+c）][x+（a﹣c）]＝0，

該方程有兩根x1＝﹣（a+c），x2＝﹣（a﹣c）．

同樣，x2+2cx﹣b2＝0[x+（c+a）][x+（c﹣a）]＝0，

該方程亦有兩根x3＝﹣（c+a），x4＝﹣（c﹣a）．

顯然x1＝x3，兩方程有公共根，即充分性成立；

必要性：設(shè)方程x2+2ax+b2＝0與x2+2cx﹣b2＝0的公共根為m，

則

（1）+（2）得m＝﹣（a+c）．（m＝0舍去）．

將m＝﹣（a+c）代入（1）式，得[﹣（a+c）]2+2a[﹣（a+c）]+b2＝0，

整理得a2＝b2+c2．所以A＝90°，即必要性成立；

故答案為：充要條件.