Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 若an=﹣3Sn+4，bn=﹣log2an+1 ．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式與數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）令cn= + ，其中n∈N*，若數列{cn}的前n項和為Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）an=﹣3Sn+4，n≥2時，an﹣1=﹣3Sn﹣1+4，相減可得：an﹣an﹣1=﹣3an，可得an= ．

n=1時，a1=﹣3a1+4，解得a1=1．

∴數列{an}為等比數列，首項為1，公比為 ．

∴an= ．

bn=﹣log2an+1=﹣ =2n．

（Ⅱ）cn= + = + = + ，其中n∈N*，

設數列{ }的前n項和為An= +…+ ，

∴ = +…+ + ，

∴ = +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴An=2﹣ ．

設數列 的前n項和為Bn．

則Bn= + +…+ =1﹣ = ．

∴數列{cn}的前n項和Tn=2﹣ + ．

【解析】（1）an=﹣3Sn+4，n≥2時，an﹣1=﹣3Sn﹣1+4，相減可得：an﹣an﹣1=﹣3an，可得an= a n 1，不難得出此為等比數列，且首項為1，公比q為，再將an的通項公式代入bn=﹣log2an+1，可得bn的通項公式，（2）由（1）中的bn，表示出Cn，利用分組求和，錯位相減求得+ + +…+ ,使用裂項相消求得+++···+,最終相加可得數列{cn}的前n項和Tn.