Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcosθ=a（a＞0），Q為l上一點，以OQ為邊作等邊三角形OPQ，且O、P、Q三點按逆時針方向排列．
（Ⅰ）當點Q在l上運動時，求點P運動軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C：x2+y2=a2 ， 經過伸縮變換 得到曲線C′，試判斷點P的軌跡與曲線C′是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標，沒有則說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點P的坐標為 （ρ，θ），則由題意可得點Q的坐標為 ，

再由點Q的橫坐標等于a，a＞0，可得 ，

可得 ，

故當點Q在l上運動時點P的直角坐標方程為 ．

（Ⅱ）曲線C：x2+y2=a2，

伸縮變換即： ，代入整理可得： ，

聯立點P的軌跡方程，消去x得 ，

∵a＞0，∴△＞0，有交點，坐標分別為 ．

【解析】（1）設出動點P的坐標，由題意得出Q的坐標，根據題意得出極坐標方程，再把極坐標方程化為直角坐標方程；（2）得出曲線C的方程經伸縮變換后的方程，聯立P的軌跡方程，得出交點坐標.