Question

【題目】已知函數 ．
（1）求f（x）在（1，0）處的切線方程；
（2）求證： ；
（3）若lng（x）≤ax2對任意x∈R恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的導數為f′（x）= ﹣ = ，

可得f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，

所以f（x）在（1，0）處的切線方程為y=0；

（2）證明：設 ，

由G（﹣x）=G（x），

則G（x）為偶函數，

僅考慮x≥0時的情形： ，

設 ，則 ，

即G1（x）為單調遞增函數，

G1（x）≥G1（0）=0，即G'（x）≥0，所以G（x）單調遞增，

所以G（x）≥G（0）=0，

又由于G（x）是偶函數，所以當x∈R時，G（x）≥0，

即 ．

（3）由f（x）=lnx+ ﹣1的導數f′（x）= ﹣ = ，

當x＞1時，f（x）遞增；當0＜x＜1時，f（x）遞減，

可得f（x）的極小值且為最小值f（1）=0，

即有lnx+ ﹣1≥0，

由（2）可知 ，

又 ，

從而 對任意x∈R恒成立，

整理得 ，從而 ，即 ．

下面證明 ，由于不等式左右兩邊都是偶函數，

只需考慮x≥0情況，

只需證明 ，令 ，

則H（0）=0，且 ，

令 ，

則h（0）=0，且 ，

因此當x≥0時，h（x）≤0，即H'（x）≤0，H（x）單調遞減，

從而當x≥0時，H（x）≤0，

從而證明了當x∈R時， ，

所以參數a的最小值為 ．

【解析】】1、由題意可得利用f（x）的導數求出切點處的斜率，進而可求切線的方程。
2、根據題意可設 G ( x ) = lng(x) -1,利用偶函數的定義可得 G（x）為偶函數，再根據求導得到G（x）是x≥0的單調遞增函數，故有G（x）≥G（0）=0，由于G（x）是偶函數，所以當x∈R時，G（x）≥0，即得結論。
3、根據題意利用對f ( x )求導，可得到f（x）的極小值且為最小值f（1）=0，即有lnx+ ﹣1≥0，根據（2）的結論利用基本不等式可推導出a ≥ ，故參數a的最小值為 。