Question

【題目】己知函數， ．

（I）求函數上零點的個數；

（II）設，若函數在上是增函數．

求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）零點個數為 （II）的取值范圍是

【解析】試題分析：（1）先求得， 時， 恒成立，可證明時， ，可得在上單調遞減，根據零點定理可得結果；（2）化簡為分段函數，利用導數研究函數的單調性，討論兩種情況，分別分離參數求最值即可求得實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數 ,

求導，得，

當時， 恒成立，

當時， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續不間斷，

∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函數在上零點的個數為1．

（II）由（Ⅰ）知：當時， ＞0，當時， ＜0．

∴當時， =

求導，得

由于函數在上是增函數， 故在， 上恒成立.

①當時， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則，，

所以， 在上單調遞減，在上單調遞增，

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當時， ，

當時， 在上恒成立，

綜合①②知，當時，函數在上是增函數．

故實數的取值范圍是．