Question

（2012•普陀區一模）設n∈N^*，a_n表示關于x的不等式log4x-log4(5×4n-1-x)≥2n-1的正整數解的個數，則數列{a_n}的通項公式a_n=

3•4^n-1+1，n∈N^*

．

Answer 1

分析：題干錯誤，應該為：log4x+log4(5×4n-1-x)≥2n-1，請給修改，謝謝．
由不等式可得 x²-x•5×4^n-1+4^2n-1≤0，即 4^n-1≤x≤4ⁿ．再由 a_n表示關于x的不等式log4x-log4(5×4n-1-x)≥2n-1的正整數解的個數，可得
a_n =4ⁿ-4^n-1+1，花簡求得結果．

解答：解：由不等式 log4x+log4(5×4n-1-x)≥2n-1，可得 log4(x•5×4n-1-x2)≥2n-1，故有 x•5×4^n-1-x²≥4^2n-1，
∴x²-x•5×4^n-1+4^2n-1≤0，∴4^n-1≤x≤4ⁿ．
∵a_n表示關于x的不等式log4x-log4(5×4n-1-x)≥2n-1的正整數解的個數，
∴a_n =4ⁿ-4^n-1+1=3•4^n-1+1，n∈N^*．
故答案為 3•4^n-1+1，n∈N^*．

點評：本題主要考查指數不等式、對數不等式的解法，數列的簡單表示法，屬于基礎題．